《常微分方程》习题(2025)

加$\star$$\star$题选作

第二周

1. 假设条件(H)成立，即$f$$f$为区间$J_x$$J_x$上的连续函数，$g$$g$为$J_y$$J_y$上的连续函数，并且$(x_0,y_0)\in J_x\times J_y$$(x_0,y_0)\in J_x\times J_y$。设$y_0\in J_y$$y_0\in J_y$为内点并且$g(y_0)\ne 0$$g(y_0)\not=0$，其中$J_y$$J_y$为一区间（所谓内点是指，存在$y_0$$y_0$的一个开邻域包含于$J_y$$J_y$）。证明存在$x_0$$x_0$的邻域（可能为单边邻域），使得初值问题

   $$y^{\prime }=f(x)g(y),y(x_0)=y_0,$$

   在该邻域中具有唯一解。从而可以通过分离变量法解出该方程。

2. 解方程并画出方程解的草图：

3. 设$a,b,c\in \mathbb{R}$$a,b,c\in\mathbb{R}$为常数，试验证方程$y^{\prime }=f(ax+by+c)$$y'=f(ax+by+c)$在变换群下的不变性。

第四周

1. 解方程$y^{\prime }=\frac{2y(y-1)}{x(2-y)}$$y'=\frac{2y(y-1)}{x(2-y)}$，确定其通解。

2. 解以下常微分方程： a. $y^{\prime }+y\sin x=\sin 2x$$y'+y\sin x=\sin 2x$，$y(0)=y_0$$y(0)=y_0$； b. $y^{\prime }=x^{4}y+x^4{y}^4$$y'=x^4y+x^4y^4$，$y(0)=y_0$$y(0)=y_0$； c. $y^{\prime }=\frac{2x+y+1}{x+2y+2}$$y'=\frac{2x+y+1}{x+2y+2}$，$y(0)=y_0$$y(0)=y_0$。

3. 设$f:(0,1]\to \mathbb{R}$$f:(0,1]\to\mathbb{R}$连续，并考虑方程

试问$f$$f$在何种条件下可以保证上述方程所有解满足以下性质：a) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}y(x)=0$$\lim_{x\to0^+}y(x)=0$；b) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{y(x)}{x}=0$$\lim_{x\to0^+}\frac{y(x)}x=0$？

4. 对方程

考虑上面同样的问题，此时仅考虑满足$0<y(x)⩽1/e$$0<y(x)\leqslant 1/e$的解。

5. （*）考虑Bernoulli方程。

   (1) $\alpha \in \mathbb{Z}$$\alpha\in\mathbb{Z}$，此时$y<0$$y<0$是允许的。试对$\alpha$$\alpha$分别为奇数和偶数讨论Bernoulli方程的解。

   (2) 证明若$\alpha ⩾2$$\alpha\geqslant2$，$\alpha \in \mathbb{N}$$\alpha\in\mathbb{N}$，若$y(x)\not\equiv 0$$y(x)\not\equiv0$为Bernoulli方程在区间$J$$J$上的解，则$y$$y$在$J$$J$上无零点。

6. 解方程

   a. $y^{\prime }-y^2-2xy=2$$y'-y^2-2xy=2$.

   b. $y^{\prime }+\frac{y}{1+x}+(1+x)y^4=0$$y'+\frac{y}{1+x}+(1+x)y^4=0$，$y(0)=-2$$y(0)=-2$.

   c. $(x+\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}})dx+(1-\frac{x}{y\sqrt{y^2-x^2}})dy=0$$\big(x+\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}\big)dx+\big(1-\frac{x}{y\sqrt{y^2-x^2}}\big)dy=0$.

第六周

1. 设$E\subset {\mathbb{R}}^n$$E\subset\mathbb{R}^n$，$f:E\to \mathbb{R}$$f:E\to\mathbb{R}$一致连续。证明存在$f$$f$从$E$$E$到$\bar{E}$$\overline{E}$的唯一连续扩张，即存在唯一的连续函数$g:\bar{E}\to \mathbb{R}$$g:\overline{E}\to\mathbb{R}$使得$g{|}_E=f$$g\vert_E=f$。

2. 讨论下面方程$y^{\prime }=|y{|}^{\alpha }$$y'=|y|^{\alpha}$，$\alpha >0$$\alpha>0$满足初值条件$y(0)=0$$y(0)=0$的解的唯一性。

3. 设连续函数$f(x,y)$$f(x,y)$关于$y$$y$是递减的，证明在$x_0$$x_0$的右端方程初值问题

   $$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f(x,y),\\ y(x_0)=y_0,\end{array}$$

   存在唯一局部解。请同时讨论左端的情形。

4. 运用$C(J)$$C(J)$上的另一个范数

   $$\parallel y{\parallel }_1=\underset{x\in J}{max}|y(x)|e^{-\alpha |x-x_0|}$$

   给出Cauchy-Lipschitz定理的新证明。（注意这个证明不需要解的延拓。）

5. $\star$$\star$ 设算子$T:C(J)\to C(J)$$T:C(J)\to C(J)$如下定义：

   $$(Ty)(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,y(t)),y\in C(J),$$

   其中$J=[x_0,x_0+a]$$J=[x_0,x_0+a]$，$y_0\in \mathbb{R}$$y_0\in\mathbb{R}$。证明若$f(x,y)$$f(x,y)$连续，算子$T$$T$为连续紧算子，即 (1) 任给$\{y_n\}$$\{y_n\}$依范数$\parallel \cdot {\parallel }_0$$\|\cdot\|_0$收敛于$y$$y$，$\{T{y}_n\}$$\{Ty_n\}$依范数$\parallel \cdot {\parallel }_0$$\|\cdot\|_0$收敛于$Ty$$Ty$; (2) 若$D\subset C(J)$$D\subset C(J)$为有界集，$T(D)\subset C(J)$$T(D)\subset C(J)$为相对紧集。并由此利用Schauder不动点定理证明初值问题

   $$\{\begin{array}{ll}{y}^{\prime }=f(x,y),& x\in J,\\ y(x_0)=y_0,\end{array}$$

   至少存在一个解。

6. 设$r_0,\dots ,r_N⩾0$$r_0,\ldots,r_N\geqslant0$，${\delta }_0,\dots ,{\delta }_{N-1}⩾0$$\delta_0,\ldots,\delta_{N-1}\geqslant0$，${\mathrm{\Delta }}_0,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{N-1}⩾0$$\Delta_0,\ldots,\Delta_{N-1}\geqslant0$且$r_0=0$$r_0=0$。证明如果$r_{i+1}⩽(1+{\delta }_i)r_i+{\mathrm{\Delta }}_i,$$r_{i+1}\leqslant(1+\delta_i)r_i+\Delta_i,$则

   $$r_N⩽e^{\sum _{i=0}^{N-1}{\delta }_i}\cdot \sum _{i=0}^{N-1}{\mathrm{\Delta }}_i.$$

7. 考虑初值问题

   $$\{\begin{array}{ll}{y}^{\prime }(x)=\frac{3}{2}{y}^{\frac{1}{3}},& x\in [0,1],\\ y(0)=0.\end{array}$$

   证明上述方程有三个形如$y(x)=\alpha x^{\beta }$$y(x)=\alpha x^{\beta}$的经典解，但只有一个Euler解。

8. $\star$$\star$ 利用Peano定理的证明思想给出下面的时滞微分方程解存在性的证明。设$J=[x_0,x_0+a]$$J=[x_0,x_0+a]$，$\tau (x)\in C(J)$$\tau(x)\in C(J)$，$0⩽\tau (x)⩽b$$0\leqslant \tau(x)\leqslant b$。考虑方程

   $$\{\begin{array}{ll}{y}^{\prime }(x)=f(x,y(x-\tau (x))),& x\in J\\ y(x)=\varphi (x),& x\in J_{-}=[x_0-b,x_0].\end{array}$$

   假设$f$$f$在$S=J\times \mathbb{R}$$S=J\times\mathbb{R}$上连续。证明 a. 若$\tau (x)>0$$\tau(x)>0$，$x\in J$$x\in J$，则上述方程存在唯一解； b. 若$f$$f$在$S$$S$上关于$y$$y$满足Lipschitz条件，则方程存在唯一解且该解可由相应的逐次迭代得到。 c. 若$f$$f$在$S$$S$上有界，则方程至少有一个解。

第八周

1. 考虑方程$y^{\prime }=x^2+y^2,y(0)=1$$y'=x^2+y^2, y(0)=1$。运用形如$w_1(x)=\frac{1}{1-cx}$$w_1(x)=\frac 1{1-cx}$（$c>1$$c>1$）的函数与比较定理研究第方程的解何时爆炸，即$y^{\prime }$$y'$在有限时间达到$\mathrm{\infty }$$\infty$。

2. 构造下面初值问题的右行极大解与极小解 a. $y^{\prime }=x^3+y^3,y(0)=1$$y'=x^3+y^3, y(0)=1$; b. $y^{\prime }=x+\sqrt{1+y^2},y(0)=1$$y'=x+\sqrt{1+y^2}, y(0)=1$.

3. 给出下列Clairaut方程的所有解并画出若干解的草图，并确定方程解曲线的包络线。 a. $y=x{y}^{\prime }-\sqrt{y^{\prime }-1}$$y=xy'-\sqrt{y'-1}$; b. $y=x{y}^{\prime }+(y^{\prime }{)}^2$$y=xy'+(y')^2$.

第十周

1. 考虑单摆方程$\ddot{x}+V^{\prime }(x)=0,$$\ddot{x}+V'(x)=0,$其中$V(x)=a(1-\cos (x))$$V(x)=a(1-\cos(x))$，$a=g/l$$a=g/l$。对任意$\alpha ⩾0$$\alpha\geqslant0$，记

   $$K_{\alpha }=\{(x,p):H(x,p)=\frac{1}{2}|p{|}^2+V(x)=\alpha \}.$$

   a. 设$0<\alpha <2a$$0<\alpha<2a$，证明$K_{\alpha }$$K_{\alpha}$为一条简单闭曲线且存在$A\in (0,\pi )$$A\in(0,\pi)$，使得$K_{\alpha }$$K_{\alpha}$包含$(-A,0)$$(-A,0)$和$(A,0)$$(A,0)$。 b. 设$(x(t),p(t))$$(x(t),p(t))$为以$(A,0)$$(A,0)$为初值的方程$\dot{x}=p,\dot{p}=-a\sin (x),$$\dot{x}=p,\quad \dot{p}=-a\sin(x),$的解。说明该轨道为周期轨，并确定其周期$T(A)$$T(A)$。 c. 证明

   $$\underset{A\to 0^{+}}{lim}T(A)=\frac{2\pi }{\sqrt{a}},\underset{A\to {\pi }^{-}}{lim}T(A)=+\mathrm{\infty }.$$

2. 设$\omega :[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$$\omega:[0,\infty)\to[0,\infty)$连续单调递增，$\omega (0)=0$$\omega(0)=0$，对$r>0$$r>0$有$\omega (r)>0$$\omega(r)>0$，且满足$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\int }_{\epsilon }^1\frac{dr}{\omega (r)}=\mathrm{\infty }.$$\lim_{\varepsilon\to0^+}\int^1_\varepsilon\frac{dr}{\omega(r)}=\infty.$若$u:[0,a]\to \mathbb{R}$$u:[0,a]\to\mathbb{R}$非负连续且满足

   $$u(x)⩽{\int }_0^x\omega (u(t))dt,x\in [0,a],$$

   证明$u(x)\equiv 0$$u(x)\equiv0$，$x\in [0,a]$$x\in[0,a]$。

3. 直接验证Osgood条件下，方程$y^{\prime }=f(x,y)$$y'=f(x,y)$（$f$$f$连续）的唯一性。确切地说，假设$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|⩽\omega (|y_1-y_2|),$$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leqslant\omega(|y_1-y_2|),$其中$\omega \in C([0,+\mathrm{\infty }))$$\omega\in C([0,+\infty))$满足$q(0)=0$$q(0)=0$，$\omega (r)>0$$\omega(r)>0$，$r>0$$r>0$，且

   $${\int }_0^1\frac{1}{\omega (r)}dr=\mathrm{\infty }.$$

   证明初值问题解的唯一性。关于连续依赖性的结论呢？

第十二周

1. 设$f(x_0)\ne 0$$f(x_0)\not=0$，则存在$x_0$$x_0$附近的局部坐标变换$y=\varphi (x)$$y=\phi(x)$，在$x_0$$x_0$附近将方程$\dot{x}=f(x)$$\dot{x}=f(x)$转化成

   $$\dot{y}=e_1=(1,0,\cdots ,0).$$

2. 验证$\mathrm{\Phi }(t,x)=e^t(1+x)-1$$\Phi(t,x)=e^t(1+x)-1$定义了一个流。确定一向量场$f$$f$，使其决定的流为$\mathrm{\Phi }$$\Phi$。

3. 我们称$z^{\prime }=-A^T(x)z$$z'=-A^T(x)z$为方程$y^{\prime }=A(x)y$$y'=A(x)y$的伴随方程。定义算子

   $$Ly=y^{\prime }-A(x)y,Mz=z^{\prime }+A^T(x)z.$$

   算子$L$$L$称作自伴若$L=M$$L=M$。

   a. 设$Y(x)$$Y(x)$为$Ly=0$$Ly=0$的基解矩阵。证明$Z(x)$$Z(x)$为$Mz=0$$Mz=0$的基解矩阵当且仅当存在非奇异常矩阵$C$$C$，使得$Y^T(x)Z(x)=C$$Y^T(x)Z(x)=C$。

   b. 任给$y,z\in C^1(J)$$y,z\in C^1(J)$，证明下面的Lagrange恒等式，其中$⟨\cdot ,\cdot ⟩$$\langle\cdot,\cdot\rangle$为Euclid空间的内积，

   $$\frac{d}{dt}⟨y,z⟩=⟨Ly,z⟩+⟨y,Mz⟩.$$

   c. 若$L$$L$为自伴，$x_0\in \text{int}J$$x_0\in\text{int}\,J$，$Y(x)$$Y(x)$为方程$Ly=0$$Ly=0$基解矩阵且$Y(x_0)$$Y(x_0)$为正交矩阵。证明$Y(x)$$Y(x)$为正交矩阵，$x\in \text{int}J$$x\in\text{int}\,J$。

4. 考虑方程组

   $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos t-y\sin t,\\ y^{\prime }=x\sin t+y\cos t.\end{array}$$

   确定基解矩阵$X(t)$$X(t)$满足$X(0)=I$$X(0)=I$，并求$X(t)$$X(t)$相应的Wronski行列式。证明方程的解均为周期解并确定其周期。

5. 给出方程组

   $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=(3t-1)x-(1-t)y+t{e}^{t^2},\\ y^{\prime }=-(t+2)x+(t-2)y-e^{t^2},\end{array}$$

   的通解。

6. 考虑方程组

   $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos t-y\sin t,\\ y^{\prime }=x\sin t+y\cos t.\end{array}$$

   确定基解矩阵$X(t)$$X(t)$满足$X(0)=I$$X(0)=I$，并求$X(t)$$X(t)$相应的Wronski行列式。证明方程的解均为周期解并确定其周期。

7. 给出方程组

   $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=(3t-1)x-(1-t)y+t{e}^{t^2},\\ y^{\prime }=-(t+2)x+(t-2)y-e^{t^2},\end{array}$$

   的通解。

第十四周

1. 1. 确定下面常系数齐次线性方程组的基解矩阵： a. $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-y+2z\\ y^{\prime }=-x+y+2z\\ z^{\prime }=x+y\end{array}$$\begin{cases}x'=x-y+2z\\y'=-x+y+2z\\z'=x+y\end{cases}$ b. $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-x+y-z\\ y^{\prime }=2x-y+2z\\ z^{\prime }=2x+2y-z\end{array}$$\begin{cases}x'=-x+y-z\\y'=2x-y+2z\\z'=2x+2y-z\end{cases}$

2. 设$A$$A$为$n\times n$$n\times n$矩阵。定义

   $$\sin A=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{A^{2k+1}}{(2k+1)!},\cos A=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{A^{2k}}{(2k)!}.$$

   a. 证明Euler公式

   $$e^{iA}=\cos A+i\sin A,\cos A=\frac{1}{2}(e^{iA}+e^{-iA}),\sin A=\frac{1}{2}(e^{iA}-e^{-iA}).$$

   b. 考虑方程

   $$Y^{″}+A^{2}Y=0.$$

   证明该方程满足初值条件$Y(0)=I,Y^{\prime }(0)=0$$Y(0)=I, Y'(0)=0$的解$Y(t)=\cos At$$Y(t)=\cos At$，而满足初值条件$Y(0)=0,Y^{\prime }(0)=A$$Y(0)=0, Y'(0)=A$的解$Y(t)=\sin At$$Y(t)=\sin At$.

3. 考虑二阶方程

   $$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0,$$

   其中函数$p,q:J\to \mathbb{R}$$p,q:J\to\mathbb{R}$均连续。假设$\varphi (x)$$\phi(x)$为方程的非零解，证明$\varphi$$\phi$在$J$$J$上只有简单零点（即若$x_0$$x_0$为$\varphi$$\phi$的零点则${\varphi }^{\prime }(x_0)\ne 0$$\phi'(x_0)\not=0$）。进一步证明$\varphi$$\phi$在$J$$J$上仅有有限个孤立零点。

4. 对如下的Euler方程

   $$x^n{y}^{(n)}+a_1{x}^{n-1}{y}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x{y}^{\prime }+a_{n}y=0,$$

   其中$\{a_i\}$$\{a_i\}$均为常数，$x>0$$x>0$。试利用适当变换将Euler方程转化成齐次线性方程组。

5. 解方程 a. $2y^{″}-4y^{\prime }-6y=3e^{2x}$$2y''-4y'-6y=3e^{2x}$。 b. $y^{″}+2y^{\prime }=3+4\sin 2x$$y''+2y'=3+4\sin 2x$。 c. $y^{\prime }=A(x)y+f(x)$$y'=A(x)y+f(x)$，其中$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ -1& 0& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\right),f(x)=\left(\begin{array}{c}2-x\\ 0\\ 1-x\end{array}\right)$$A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\-1&0&0\\1&1&-1\end{pmatrix},\qquad f(x)=\begin{pmatrix}2-x\\0\\1-x\end{pmatrix}$ d. $y^{\prime }=A(x)y+f(x)$$y'=A(x)y+f(x)$，$y(0)=y_0$$y(0)=y_0$，$A=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& -1\end{array}\right),f(x)=\left(\begin{array}{c}\sin x\\ -2\cos x\end{array}\right),y_0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right).$$A=\begin{pmatrix}4&-3\\2&-1\end{pmatrix},\qquad f(x)=\begin{pmatrix}\sin x\\-2\cos x\end{pmatrix},\qquad y_0=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.$