《常微分方程》习题(2023)

加\(\star\)题选作

第二周

  1. 试寻求势能泛函\[J(y)=\rho g\int^b_ay\sqrt{1+y'^2}\ dx\]在约束条件\[y(a)=y_a, y(b)=y_b,\qquad K(y)=\int^b_a\sqrt{1+y'^2}\ dx=l\]下的极小来导出悬链线方程。
  2. 假设条件(H)成立,即\(f\)为区间\(J_x\)上的连续函数,\(g\)为\(J_y\)上的连续函数,并且\((x_0,y_0)\in J_x\times J_y\)。设\(y_0\in J_y\)为内点并且\(g(y_0)\not=0\),其中\(J_y\)为一区间(所谓内点是指,存在\(y_0\)的一个开邻域包含于\(J_y\))。证明存在\(x_0\)的邻域(可能为单边邻域),使得初值问题\[y'=f(x)g(y),\qquad y(x_0)=y_0,\]在该邻域中具有唯一解。从而可以通过分离变量法解出该方程。
  3. 解方程\(y'=3(\text{sgn}(y))|y|^{\frac 23}=\begin{cases}3|y|^{\frac 23},& y\geqslant 0,\\-3|y|^{\frac 23},&y<0,\end{cases}\) 并画出方程解的草图。

第四周

  1. 解方程\(y'=\frac{2y(y-1)}{x(2-y)}\),确定其通解。
  2. 解以下常微分方程:
    a. \(y'+y\sin x=\sin 2x\),\(y(0)=y_0\);
    b. \(y'=x^4y+x^4y^4\),\(y(0)=y_0\);
    c. \(y'=\frac{2x+y+1}{x+2y+2}\),\(y(0)=y_0\)。
  3. 设\(f:(0,1]\to\mathbb{R}\)连续,并考虑方程\[y'=f(x)y,\qquad x\in(0,1].\]试问\(f\)在何种条件下可以保证上述方程所有解满足以下性质:a) \(\lim_{x\to0^+}y(x)=0\);b) \(\lim_{x\to0^+}\frac{y(x)}x=0\)?
  4. 对方程\[y'=f(x)y\log\frac 1y,\qquad x\in(0,1].\]考虑上面同样的问题,此时仅考虑满足\(0<y(x)\leqslant 1/e\)的解。

第六周

  1. 设\(E\subset\mathbb{R}^n\),\(f:E\to\mathbb{R}\)一致连续。证明存在\(f\)从\(E\)到\(\overline{E}\)的唯一连续扩张,即存在唯一的连续函数\(g:\overline{E}\to\mathbb{R}\)使得\(g\vert_E=f\)。
  2. 讨论下面方程\(y'=|y|^{\alpha}\),\(\alpha>0\)满足初值条件\(y(0)=0\)的解的唯一性。
  3. 设连续函数\(f(x,y)\)关于\(y\)是递减的,证明在\(x_0\)的右端方程初值问题\[\begin{cases}y'=f(x,y),\\y(x_0)=y_0,\end{cases}\]存咋唯一局部解。请同时讨论左端的情形。
  4. 运用\(C(J)\)上的另一个范数\(\|y\|_1=\max_{x\in J}|y(x)|e^{-\alpha|x-x_0|}\)给出Cauchy-Lipschitz定理的新证明。(注意这个证明不需要解的延拓。)
  5. * 设算子\(T:C(J)\to C(J)\)如下定义:\[(Ty)(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,y(t)),\qquad y\in C(J),\]其中\(J=[x_0,x_0+a]\),\(y_0\in\mathbb{R}\)。证明若\(f(x,y)\)连续,算子\(T\)为连续紧算子,即 (1) 任给\(\{y_n\}\)依范数\(\|\cdot\|_0\)收敛于\(y\),\(\{Ty_n\}\)依范数\(\|\cdot\|_0\)收敛于\(Ty\); (2) 若\(D\subset C(J)\)为有界集,\(T(D)\subset C(J)\)为相对紧集。并由此利用Schauder不动点定理证明初值问题\[\begin{cases}y'=f(x,y),& x\in J,\\y(x_0)=y_0,\end{cases}\]至少存在一个解。
  6. 设\(r_0,\ldots,r_N\geqslant0\),\(\delta_0,\ldots,\delta_{N-1}\geqslant0\),\(\Delta_0,\ldots,\Delta_{N-1}\geqslant0\)且\(r_0=0\)。证明如果\[r_{i+1}\leqslant(1+\delta_i)r_i+\Delta_i,\]则\[r_N\leqslant e^{\sum^{N-1}_{i=0}\delta_i}\cdot\sum^{N-1}_{i=0}\Delta_i.\]
  7. 考虑初值问题\[\begin{cases}y'(x)=\frac 32y^{\frac 13},&x\in[0,1],\\y(0)=0.\end{cases}\]证明上述方程有三个形如\(y(x)=\alpha x^{\beta}\)的经典解,但只有一个Euler解。
  8. * 利用Peano定理的证明思想给出下面的时滞微分方程解存在性的证明。设\(J=[x_0,x_0+a]\),\(\tau(x)\in C(J)\),\(0\leqslant \tau(x)\leqslant b\)。考虑方程\[\begin{cases}y'(x)=f(x,y(x-\tau(x))),&x\in J\\ y(x)=\phi(x),&x\in J_-=[x_0-b,x_0].\end{cases}\]假设\(f\)在\(S=J\times\mathbb{R}\)上连续。证明
    a. 若\(\tau(x)>0\),\(x\in J\),则上述方程存在唯一解;
    b. 若\(f\)在\(S\)上关于\(y\)满足Lipschitz条件,则方程存在唯一解且该解可由相应的逐次迭代得到。
    c. 若\(f\)在\(S\)上有界,则方程至少有一个解。
  9. 考虑方程\(y'=x^2+y^2, y(0)=1\)。运用形如\(w_1(x)=\frac 1{1-cx}\)(\(c>1\))的函数与比较定理研究第方程的解何时爆炸,即\(y'\)在有限时间达到\(\infty\)。
  10. 构造下面初值问题的右行极大解与极小解
    a. \(y'=x^3+y^3, y(0)=1\);
    b. \(y'=x+\sqrt{1+y^2}, y(0)=1\).

第八周

  1. 给出下列Clairaut方程的所有解并画出若干解的草图。
    a. \(y=xy'-\sqrt{y'-1}\);
    b. \(y=xy'+(y')^2\).

第十周

  1. 考虑单摆方程\[\ddot{x}+V'(x)=0,\]其中\(V(x)=a(1-\cos(x))\),\(a=g/l\)。对任意\(\alpha\geqslant0\),记\[K_{\alpha}=\left\{(x,p):H(x,p)=\frac 12|p|^2+V(x)=\alpha\right\}.\]
    a. 设\(0<\alpha<2a\),证明\(K_{\alpha}\)为一条简单闭曲线且存在\(A\in(0,\pi)\),使得\(K_{\alpha}\)包含\((-A,0)\)和\((A,0)\)。
    b. 设\((x(t),p(t))\)为以\((A,0)\)为初值的方程\[\dot{x}=p,\quad \dot{p}=-a\sin(x),\]的解。说明该轨道为周期轨,并确定其周期\(T(A)\)。
    c. 证明\[\lim_{A\to0^+}T(A)=\frac{2\pi}{\sqrt{a}},\qquad\lim_{A\to\pi^-}T(A)=+\infty.\]
  2. 设\(\omega:[0,\infty)\to[0,\infty)\)连续单调递增,\(\omega(0)=0\),对\(r>0\)有\(\omega(r)>0\),且满足\[\lim_{\varepsilon\to0^+}\int^1_\varepsilon\frac{dr}{\omega(r)}=\infty.\]若\(u:[0,a]\to\mathbb{R}\)非负连续且满足\[u(x)\leqslant\int^x_0\omega(u(t))\ dt,\qquad x\in[0,a],\]证明\(u(x)\equiv0\),\(x\in[0,a]\)。
  3. 直接验证Osgood条件下,方程\(y'=f(x,y)\)(\(f\)连续)的唯一性。确切地说,假设\[|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leqslant\omega(|y_1-y_2|),\]其中\(\omega\in C([0,+\infty))\)满足\(q(0)=0\),\(\omega(r)>0\),\(r>0\),且\[\int^1_0\frac 1{\omega(r)}\ dr=\infty.\]证明初值问题解的唯一性。关于连续依赖性的结论呢?
  4. 设\(f(x_0)\not=0\),则存在\(x_0\)附近的局部坐标变换\(y=\phi(x)\),在\(x_0\)附近将方程\[\dot{x}=f(x)\]转化成\[\dot{y}=e_1=(1,0,\cdots,0).\]
  5. 验证\(\Phi(t,x)=e^t(1+x)-1\)定义了一个流。确定一向量场\(f\),使其决定的流为\(\Phi\)。

第十二周

  1. * 我们称\(z'=-A^T(x)z\)为方程\(y'=A(x)y\)的伴随方程。定义算子\[Ly-y'-A(x)y,\qquad Mz=z'+A^T(x)z.\]算子\(L\)称作自伴若\(L=M\)。
    a. 设\(Y(x)\)为\(Ly=0\)的基解矩阵。证明\(Z(x)\)为\(Mz=0\)的基解矩阵当且仅当存在非奇异常矩阵\(C\),使得\(Y^T(x)Z(x)=C\)。
    b. 任给\(y,z\in C^1(J)\),证明下面的Lagrange恒等式,其中\(\langle\cdot,\cdot\rangle\)为Euclid空间的内积,\[\frac d{dt}\langle y,z\rangle=\langle Ly,z\rangle+\langle y,Mz\rangle.\]
    c. 若\(L\)为自伴,\(x_0\in\text{int}\,J\),\(Y(x)\)为方程\(Ly=0\)基解矩阵且\(Y(x_0)\)为正交矩阵。证明\(Y(x)\)为正交矩阵,\(x\in\text{int}\,J\)。
  2. 考虑方程组\[\begin{cases}x'=x\cos t-y\sin t,\\y'=x\sin t+y\cos t.\end{cases}\]确定基解矩阵\(X(t)\)满足\(X(0)=I\),并求\(X(t)\)相应的Wronski行列式。证明方程的解均为周期解并确定其周期。
  3. 给出方程组\[\begin{cases}x'=(3t-1)x-(1-t)y+te^{t^2},\\y'=-(t+2)x+(t-2)y-e^{t^2},\end{cases}\]的通解。
  4. 确定下面常系数齐次线性方程组的基解矩阵:
    a. \[\begin{cases}x'=x-y+2z\\y'=-x+y+2z\\z'=x+y\end{cases}\]
    b. \[\begin{cases}x'=-x+y-z\\y'=2x-y+2z\\z'=2x+2y-z\end{cases}\]
  5. 设\(A\)为\(n\times n\)矩阵。定义\[\sin A=\sum^{\infty}_{k=0}(-1)^k\frac{A^{2k+1}}{(2k+1)!},\qquad\cos A=\sum^{\infty}_{k=0}(-1)^k\frac{A^{2k}}{(2k)!}.\]
    a. 证明Euler公式\[e^{iA}=\cos A+i\sin A,\]\[\cos A=\frac 12(e^{iA}+e^{-iA}),\qquad \sin A=\frac 12(e^{iA}-e^{-iA}).\]
    b. 考虑方程\[Y''+A^2Y=0.\]证明该方程满足初值条件\(Y(0)=I, Y'(0)=0\)的解\(Y(t)=\cos At\),而满足初值条件\(Y(0)=0, Y'(0)=A\)的解\(Y(t)=\sin At\).

第十三周

  1. 考虑二阶方程\[y''+p(x)y'+q(x)y=0,\]期中函数\(p,q:J\to\mathbb{R}\)均连续。假设\(\phi(x)\)为方程的非零解,证明\(\phi\)在\(J\)上只有简单零点(即若\(x_0\)为\(\phi\)的零点则\(\phi'(x_0)\not=0\))。进一步证明\(\phi\)在\(J\)上仅有有限个孤立零点。
  2. 对如下的Euler方程\[x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{n-1}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_ny=0,\]其中\(\{a_i\}\)均为常数,\(x>0\)。试利用适当变换将Euler方程转化成齐次线性方程组。
  3. 解方程
    a. \(2y''-4y'-6y=3e^{2x}\)。
    b. \(y''+2y'=3+4\sin 2x\)。
    c. \(y'=A(x)y+f(x)\),其中\[A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\-1&0&0\\1&1&-1\end{pmatrix},\qquad f(x)=\begin{pmatrix}2-x\\0\\1-x\end{pmatrix}\]
    d. \(y'=A(x)y+f(x)\),\(y(0)=y_0\),\[A=\begin{pmatrix}4&-3\\2&-1\end{pmatrix},\qquad f(x)=\begin{pmatrix}\sin x\\-2\cos x\end{pmatrix},\qquad y_0=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.\]

第十五周

  1. 考虑非齐次边值问题\[u''+u=e^x,\qquad u(0)=u(1)=0.\]按照以下两种思路解上述问题。1)利用齐次方程的基础解系和非齐次方程特解;2)利用Green函数。
  2. 确定下面边值问题的Green函数\[u''+\frac 1{4x^2}u=0,\ x\in[1,2],\qquad u(1)=u(2)=0.\]
  3. 证明边值问题\[u''=g(x)\sin u,\ x\in[0,1],\qquad u(0)=u(1)=0\]当\(g\in C([0,1])\)满足\(|g(x)|<\pi^2\),\(x\in[0,1]\),时有唯一解。
  4. 给出边值问题\[u''=0,\ x\in[0,1],\qquad u'(0)=u(1)=0\]的Green函数。