常微分方程 · 习题

加（*）的题目小班必做。

第一次作业

假设条件 (H) 成立，即 $f$ 为区间 $J_x$ 上的连续函数， $g$ 为 $J_y$ 上的连续函数，并且 $(x_0,y_0)\in J_x\times J_y$ 。设 $y_0\in J_y$ 为内点并且 $g(y_0)\neq 0$ ，其中 $J_y$ 为一区间（所谓内点是指，存在 $y_0$ 的一个开邻域包含于 $J_y$ ）。证明存在 $x_0$ 的邻域（可能为单边邻域），使得初值问题

$y'=f(x)g(y),\qquad y(x_0)=y_0$

在该邻域中具有唯一解。从而可以通过分离变量法解出该方程。
解方程并画出方程解的草图：

$y'=3(\text{sgn}(y))|y|^{\frac 23}= \begin{cases} 3|y|^{\frac 23},& y\geqslant 0,\\ -3|y|^{\frac 23},& y<0. \end{cases}$
设 $a,b,c,\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ 为常数。

(1) 试验证方程 $y'=f(ax+by+c)$ 的方向场在变换群下的不变性。

(2) 试验证方程 $y'=f\left(\frac{ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma}\right)$ 的方向场在变换群下的不变性。

第二次作业

解方程 $y'=\frac{2y(y-1)}{x(2-y)}$ ，确定其通解。
解以下常微分方程：

a. $y'+y\sin x=\sin 2x$ ， $y(0)=y_0$ ；

b. $y'=x^4y+x^4y^4$ ， $y(0)=y_0$ ；

c. $y'=\frac{2x+y+1}{x+2y+2}$ ， $y(0)=y_0$ 。
设 $f:(0,1]\to\mathbb{R}$ 连续，并考虑方程

$y'=f(x)y,\qquad x\in(0,1].$

试问 $f$ 在何种条件下可以保证上述方程所有解满足以下性质：a) $\lim_{x\to0^+}y(x)=0$ ；b) $\lim_{x\to0^+}\frac{y(x)}x=0$ ？
对方程

$y'=f(x)y\log\frac 1y,\qquad x\in(0,1].$

考虑上面同样的问题，此时仅考虑满足 $0<y(x)\leqslant 1/e$ 的解。
解方程

a. $y'-y^2-2xy=2$ .

b. $y'+\frac{y}{1+x}+(1+x)y^4=0$ ， $y(0)=-2$ .

c. $\big(x+\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}\big)dx+\big(1-\frac{x}{y\sqrt{y^2-x^2}}\big)dy=0$ .
（*）考虑 Bernoulli 方程。

(1) $\alpha\in\mathbb{Z}$ ，此时 $y<0$ 是允许的。试对 $\alpha$ 分别为奇数和偶数讨论 Bernoulli 方程的解。

(2) 证明若 $\alpha\geqslant2$ ， $\alpha\in\mathbb{N}$ ，若 $y(x)\not\equiv0$ 为 Bernoulli 方程在区间 $J$ 上的解，则 $y$ 在 $J$ 上无零点。

第三次作业

设 $E\subset\mathbb{R}^n$ ， $f:E\to\mathbb{R}$ 一致连续。证明存在 $f$ 从 $E$ 到 $\overline{E}$ 的唯一连续扩张，即存在唯一的连续函数 $g:\overline{E}\to\mathbb{R}$ 使得 $g\vert_E=f$ 。
讨论下面方程 $y'=|y|^{\alpha}$ ， $\alpha>0$ 满足初值条件 $y(0)=0$ 的解的唯一性。
设连续函数 $f(x,y)$ 关于 $y$ 是递减的，证明在 $x_0$ 的右端方程初值问题

$\begin{cases}y'=f(x,y),\\y(x_0)=y_0,\end{cases}$

存在唯一局部解。请同时讨论左端的情形。
运用 $C(J)$ 上的另一个范数

$\|y\|_1=\max_{x\in J}|y(x)|e^{-\alpha|x-x_0|}$

给出 Cauchy-Lipschitz 定理的新证明。（注意这个证明不需要解的延拓。）
设 $r_0,\ldots,r_N\geqslant0$ ， $\delta_0,\ldots,\delta_{N-1}\geqslant0$ ， $\Delta_0,\ldots,\Delta_{N-1}\geqslant0$ 且 $r_0=0$ 。证明如果

$r_{i+1}\leqslant(1+\delta_i)r_i+\Delta_i,$

则

$r_N\leqslant e^{\sum^{N-1}_{i=0}\delta_i}\cdot\sum^{N-1}_{i=0}\Delta_i.$
（*）利用 Peano 定理的证明思想给出下面的时滞微分方程解存在性的证明。设 $J=[x_0,x_0+a]$ ， $\tau(x)\in C(J)$ ， $0\leqslant \tau(x)\leqslant b$ 。考虑方程

$\begin{cases}y'(x)=f(x,y(x-\tau(x))),&x\in J\\ y(x)=\phi(x),&x\in J_-=[x_0-b,x_0].\end{cases}$

假设 $f$ 在 $S=J\times\mathbb{R}$ 上连续。证明

a. 若 $\tau(x)>0$ ， $x\in J$ ，则上述方程存在唯一解；

b. 若 $f$ 在 $S$ 上关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件，则方程存在唯一解且该解可由相应的逐次迭代得到。

c. 若 $f$ 在 $S$ 上有界，则方程至少有一个解。
（*）设 $X$ 为 Banach 空间， $K\subset X$ 为非空闭凸集， $T:K\to K$ 为连续映射，且 $T(K)$ 相对紧（所谓相对紧是指， $\overline{T(K)}$ 为紧集，或者说， $T(K)$ 中任一序列都有在 $X$ 中收敛的子列），则 $T$ 在 $K$ 中有不动点（Schauder 不动点定理）。请利用 Schauder 不动点定理证明 Peano 存在性定理。

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第一次作业

第二次作业

第三次作业