《实变函数》习题(2021)

• 《实变函数》习题(2021)
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加\(\star\)题选作

第一周

1. 设\(a_1,b_1,a_2,b_2\)均为实数。证明 \((a_1-b_1)\vee(a_2-b_2)=(a_1+b_2)\vee(a_2+b_1)-(b_1+b_2)\)。
2. 设\(A, B, C\)为集合。证明\(A\cap(B\bigtriangleup C)=(A\cap B)\bigtriangleup(A\cap C)\)。若记\(\cap\)为乘法，\(\bigtriangleup\)为加法，则\((\mathcal{P}(A),\cap, \bigtriangleup)\)为一结合交换环。
3. 对\(\mathbb{R}\)上的实函数\(f\)，集合\(E=\{x\in\mathbb{R}: \lim_{y\to x}f(y)=+\infty\}\)至多可数。
4. 设\(\{r_n\}_{n\in\mathbb{N}}=(a,b)\cap\mathbb{Q}\)，\(\sum^{\infty}_{n=1}C_n\)为收敛的正项级数，定义\[f(x)=\sum_{x>r_n}C_n,\quad x\in(a,b)。\] 证明\(f\)为在无理数处连续而在有理数处不连续的单调递增函数。而且\(f(r_n+)-f(r_n-)=C_n>0\)。
5. 设\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)，定义\(\arg\min f=\{x\in\mathbb{R}: f在x处取得（局部）极小值\}\)。证明集合\(f(\arg\min f)\)至多可数。
6. 证明若\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\)为凸函数，则\(f\)为局部Lipschitz的，即任给\(x\in\mathbb{R}^n\)，存在\(r=r_x>0\)以及常数\(M=M_x>0\)，使得\[|f(y)-f(z)|\leqslant M|y-z|,\quad y,z\in B(x,r)。\]

第二周

1. 设\((X,\tau)\)为一拓扑空间，\(S\)为\(X\)的非空子集。定义\(\tau_S=\{U\cap S: U\in\tau\}\)。证明\((S,\tau_S)\)亦为一拓扑空间。\((S,\tau_S)\)称作\((X,\tau)\)的拓扑子空间，\(\tau_S\)称作\(X\)关于子集\(S\)的子空间拓扑。在同胚下保持不变的性质被称作拓扑性质。若\(X\)的拓扑性质\(S\)同时具有，称该拓扑性质（即为同胚保持的性质）为遗传的。证明\(\mathbb{R}^n\)的任意子集均遗传了可分性。
2. 我们称数域\(\mathbb{K}\)上的线性空间\(X\)上的函数\(|\cdot|:X\to[0,+\infty)\)为一范数若满足对任意\(x,y\in X\)，\(r\in\mathbb{K}\)，(1) \(|x|=0\)当且仅当\(x=0\)；(2) \(|rx|=|r|\cdot|x|\)；(3) \(|x+y|\leqslant |x|+|y|\)。证明若\(X\)为有限维实线性空间，则所有的范数等价，即对任意两个范数\(|\cdot|_1\)和\(|\cdot|_2\)，存在\(0<C<1\)，使得对任意\(x\in X\)，\(C|x|_1\leqslant |x|_2\leqslant C^{-1}|x|_1\)。进而证明，所有有限维实线性空间的范数诱导的拓扑是相容的。
3. 设\(E\subset\mathbb{R^n}\)，\(f:E\to\mathbb{R}\)一致连续。证明存在\(f\)从\(E\)到\(\overline{E}\)的唯一连续扩张，即存在唯一的连续函数\(g:\overline{E}\to\mathbb{R}\)使得\(g\vert_E=f\)。
4. 证明\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\)下半连续当且仅当\(f\)的上图\(E(f)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}: y\geqslant f(x)\}\)为闭集。
5. 设\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\)。证明\(f\)的振幅函数\(\omega_f=\overline{f}-\underline{f}\)且为上半连续的。
6. 设\((X,d)\)为度量空间，\(f:X\to[-\infty,+\infty]\)下半连续、下有界且\(f\not\equiv+\infty\)。对任意\(n\in\mathbb{N}\)，定义\(f_n(x)=\inf_{y\in X}\{f(y)+nd(x,y)\}\)，\(x\in X\)。证明\(f_n\)为\(X\)上的Lipschitz函数且\(\text{Lip}\,(f_n)\leqslant n\)，\(f_1\leqslant f_2\leqslant\cdots\leqslant f\)且任给\(x\in X\)，\(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\)。进一步，若去掉条件“\(f\)下有界”，结论亦成立。也就是说，下半连续函数可以被一列单调递增的连续函数从下方逼近。（注意此时一般做不到这个逼近序列为Lipschitz函数序列。）

第三周

1. 设\(X\)为一度量空间，\(\mathscr{B}_X\)为\(X\)上的Borel集类。证明：\(\mathscr{B}_X\)为满足以下条件的最小集合族\(\mathscr{B}\)，其中\(\mathscr{B}\)包含所有开集并且在可数交与可数并下封闭。
2. 集合\(X\)的子集类称作单调类若它在可数单调递增集合列之并和可数单调递减集合列之交下封闭。设\(\mathscr{A}\)为\(X\)的一集合代数，证明包含\(\mathscr{A}\)的最小\(\sigma\)-代数\(\sigma(\mathscr{A})\)与包含\(\mathscr{A}\)的最小单调类\(M(\mathscr{A})\)相等。
3. 设\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\)，满足Stepanov型条件：\[\limsup_{y\to x}\frac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|}<\infty\]对任意\(x\in\mathbb{R}^n\)成立。证明存在开集\(U\subset\mathbb{R}^n\)使得\(f\vert_U\)为Lipschitz函数。
4. 证明有理数集\(\mathbb{Q}\)不为\(\mathbb{R}\)上的\(G_{\delta}\)集。
5. 设\(F\subset\mathbb{R}\)为闭集且\(F^c=\cup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k)\)（区间\((a_k,b_k)\)两两不交）。证明：\(F\)为完全集当且仅当这些区间无公共端点。
6. \(\star\) 对\([0,1]\)上的所有连续实函数的全体组成的线性空间\(C[0,1]\)，赋予范数\[\|f\|=\max_{x\in[0,1]}|f(x)|。\]证明所有\([0,1]\)上连续但处处不可微函数构成\(C[0,1]\)中的剩余集。

第四周

1. 设\(X\)为集合，\((Y,\mathfrak{M})\)为可测空间，\(f:X\to Y\)。证明\(f^*\mathfrak{M}=\{f^{-1}(E)\subset X: E\in\mathfrak{M}\}\)为\(X\)上的\(\sigma\)-代数。若\(g:X\to\mathbb{R}\)为\(f^*\mathfrak{M}\)-可测的，证明存在\(h:Y\to\mathbb{R}\)使得\(g=h\circ f\)。
2. 设\((X,\mu)\)为概率测度空间，\(f\)为\(X\)上的实可测函数，\(\{c_{\alpha}\}\)为一族实数。证明\[\mu(\{x: f(x)\geqslant\sup_{\alpha}c_{\alpha}\})\geqslant\inf_{\alpha}\mu(\{x: f(x)\geqslant c_{\alpha}\})。\]
3. 验证任给测度空间\((X,\mathfrak{M},\mu)\)上的非负简单函数\(s\)，\(\nu_s(E)=\int_Es\ d\mu\)，\(E\in\mathfrak{M}\)，定义了\(X\)上的一个测度。
4. 设\((X,\mathfrak{M})\)为一可测空间，\(f:X\to\mathbb{R}\)。证明\(f\)可测当且仅当任给\(\mathbb{R}\)的某稠密子集\(D\)中的\(\alpha\)，集合\(\{x:f\leqslant\alpha\}\)可测。
5. 是否存在一个集合\(X\)上的\(\sigma\)-代数\(\mathfrak{M}\)，\(\mathfrak{M}\)为一可数无穷集？
6. 设\(f(x,y)\)为\(\mathbb{R}^1\times\mathbb{R}^1\)上的实函数，且关于每个变量均连续。证明\(f\)为Borel可测。你能否削弱条件“关于每个变量均连续”而得到相同的结论？

第五周

1. 设\((X,\mathfrak{M},\mu)\)为测度空间且\(f\in L^1(X,\mu)\)。证明任给\(\varepsilon>0\)，存在可测子集\(A\)，\(\mu(A)<\infty\)使得\(\sup_{x\in A}|f(x)|<\infty\)且\(\int_{X\setminus A}|f|\ d\mu\leqslant\varepsilon\)。
2. 设\(f\in L^1(\mathbb{R})\)，\(c>0\)。若对任意区间\(I\subset\mathbb{R}\)，\(m(I)=c\)，\(\int_If\ dm=0\)，证明\(f=0\)，\(m-\)a.e.。
3. 设\((X,\mathfrak{M},\mu)\)为一测度空间，序列\(\{f_n\}\subset L^1(X,\mathfrak{M},\mu)\)满足\(\sum_{n=1}^{\infty}\|f_n\|_1<\infty\)。证明\(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0\)，\(\mu\)-a.e.。
4. 设\(\mathcal{F}\)为测度空间\((X,\mathfrak{M},\mu)\)上的可测函数族，\(\mu(X)<\infty\)。 若存在一单调递增\(\theta:[0,\infty)\to[0,\infty)\) 满足当\(t\to +\infty\)时，\(\theta(r)/r\to+\infty\)，以及常数\(C>0\)，使得\[\int_X\theta(|f|)d\mu<C,\quad f\in\mathcal{F}.\]证明\(\mathcal{F}\subset L^1(X,\mathfrak{M},\mu)\)，并且任给\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，若\(E\in\mathfrak{M}\)，\(\mu(E)<\delta\)，则有\[\int_E|f|d\mu<\varepsilon,\quad f\in\mathcal{F}.\]
5. 设\(\mu(X)<\infty\)。对\(X\)上的实可测函数\(f\)和\(g\)定义\[d(f,g)=\int_X\frac{|f-g|}{1+|f-g|}\ d\mu\]。证明\(d\)定义了所有\(X\)上的实可测函数组成的空间\(\mathscr{L}\)（模去几乎处处这个等价条件）上的一个度量，并且序列\(f_n\)依度量\(d\)收敛与\(f\)当且仅当\(f_n\)依测度\(\mu\)收敛于\(f\)。
6. 证明在Egorov定理中，条件“\(\mu(X)<\infty\)”可以被“存在\(g\in L^1(\mu)\)使得\(|f_n|\leqslant g\)，\(n\in\mathbb{N}\)”代替。
7. 设\(f,f_n\in L^1(\mu)\)，\(n\in\mathbb{N}\)。假设\(f_n\)几乎处处收敛于\(f\)且\(\lim_{n\to\infty}\|f_n\|_1=\|f\|_1\)。证明\(\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_1=0\)，并举例说明若去掉条件”\(\lim_{n\to\infty}\|f_n\|_1=\|f\|_1\)“命题不成立。
8. 设\((X,\mathfrak{M},\mu)\)为有限测度空间。证明\(\{f_n\}\)的任何子列\(\{f_{n_k}\}\)均有子子列\(\{f_{n_{k_i}}\}\)几乎处处收敛于\(f\)当且仅当\(\{f_n\}\)依测度收敛于\(f\)。
9. 设\(f:X\times [a,b]\to\mathbb{R}\)且对任意\(t\in[a,b]\)函数\(f(\cdot,t)\)可测。定义\(F(t)=\int_Xf(x,t)\ d\mu(x)\)。试问\(f\)满足何种条件能保证函数\(F\)的连续性。如果\(\partial f/\partial t\)存在，如何保证\(F\)可微并且导数可以求到积分号里。请给出理由。

第八周

1. 设\(A\subset\mathbb{R}^n\)。证明
   \[
   m^*(A)=\inf\left\{\sum^{\infty}_{k=1}m(I_k): A\subset\bigcup^{\infty}_{k=1}I_k\right\}
   \]
   其中\(I_k\)为特殊矩体。
2. 设\(E\subset\mathbb{R}\)，证明存在可测集\(A\)，使得\(E\subset A\)并且\(m_*(A\setminus E)=0\)。这样的\(A\)称作集合\(E\)的等测包。
3. 证明若\(\{E_k\}\)为\(\mathbb{R}^n\)的递增集合列，则
   \[
   \lim_{k\to\infty}m^*(E_k)=m^*\left(\bigcup^{\infty}_{k=1}E_k\right).
   \]
4. 设\(f_n:[0,1]\to\mathbb{R}\)为单调递增函数组成的序列，并且依测度Lebesgue测度\(m\)收敛于可测函数\(f\)。证明若\(x\in(0,1)\)为\(f\)的连续点则\(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\)。
5. 假设\(T:\Omega_1\subset\mathbb{R}^n\to\Omega_2\subset\mathbb{R}^n\)为一可逆的线性变换，\(f:\Omega_2\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\)为Lebesgue可测函数。证明\(f\circ T\)可测并且
   \[
   \int_{\Omega_2}f(y)\ dm(y)=\int_{\Omega_1}f(T(x))\cdot|\det T|\ dm(x).
   \]
6. \(\ast\) 设\((X,\mathfrak{M},\mu)\)为一测度空间，\(\mathscr{F}\subset L^1(X,\mu)\)称作等度可积若任给\(\varepsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使得\[
   \mu(A)<\delta\quad\Rightarrow\quad \int_A|f|\ d\mu<\varepsilon,\quad f\in\mathscr{F}.\]
   1. 证明若序列\(f_n\in L^1(X,\mu)\)存在控制函数\(g\in L^1(X,\mu)\)，即\(|f_n|\leqslant g, a.e.\)，则\(\{f_n\}\subset L^1(X,\mu)\)为等度可积。
   2. 证明若\(f_n,f\in L^1(X,\mu)\)且\(\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_1=0\)，则\(\{f_n\}\subset L^1(X,\mu)\)为等度可积。
   3. 证明下面的Vitali的定理：若\(\mu(X)<\infty\)，\(\{f_n\}\)等度可积，\(f_n\)几乎处处收敛于\(f\)且\(f\)几乎处处有限，则\(f\in L^1(X,\mu)\)且\(\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_1=0\)。
   4. 证明下面Vitali定理的逆命题：若\(\mu(X)<\infty\)，\(\{f_n\}\subset L^1(X,\mu)\)且对任意可测集\(E\)，\(\lim_{n\to\infty}\int_Ef_n\ d\mu\)存在，则\(\{f_n\}\)等度可积。
   5. 证明下面版本的Vitali定理：\(\{f_n\}\subset L^1(X,\mu)\)，\(f\in L^1(X,\mu)\)，则\(\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_1=0\)等且仅当(1) \(f_n\)依测度\(\mu\)收敛于\(f\)；(2) \(\{f_n\}\)等度可积；(3) 任给\(\varepsilon>0\)，存在可测集\(A\)使得\(\mu(A)<\infty\)且对任一\(n\)，\(\int_{X\setminus A}|f_n|\ d\mu<\varepsilon\)。

第九周

1. 证明存在\([0,1]\)中的单调递减的子集列\(\{A_k\}\)使得，\(\cap_{k\in\mathbb{N}}A_k=\varnothing\)，但对所有\(k\)，\(m^*(A_k)=1\)。
2. 证明Brunn-Minkowski不等式中，若不假设\(A,B,A+B\)可测，则不等式当\(m\)换成\(m_*\)时成立。
3. 证明存在\(A,B\subset\mathbb{R}^n\)，\(A\cap B=\varnothing\)，同时满足
   \[
   m^*(A\cup B)< m^*(A)+m^*(B),\\
   m_*(A\cup B)> m_*(A)+m_*(B).
   \]
4. 设\(A,B\subset\mathbb{R}^n\)，且\(d(A,B)=\inf\{|x-y|: x\in A, y\in B\}>0\)。证明\(m^*(A\cup B)=m^*(A)+m^*(B)\)。
5. 设\(A\subset\mathbb{R}^n\)为Lebesgue可测集，\(m(A)>0\)，\(\{x_k\}\subset\mathbb{R}^n\)为有界序列，\(A_k=x_k+A\)，\(k\in\mathbb{N}\)。证明\(m(A)\leqslant m(\limsup_{k\to\infty}A_k)\)。

第十周

1. 在Vitali-Carathéodory定理中，如果\(v\leqslant f\leqslant u\)，\(u\)为上半连续，\(v\)为下半连续，定理是否成立？你可以考虑\([0,1]\)上的正测Cantor集\(K\)的特征函数\(\mathbb{1}_{K}\)。
2. 假设\(f:\mathbb{R}^l\times\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}\)，\(E\subset\mathbb{R}^l\)为一稠密子集。若\(f(x,\cdot)\)对所有\(x\in E\)在\(\mathbb{R}^m\)上Lebesgue可测，\(f(\cdot,y)\)对几乎所有的\(y\in\mathbb{R}^m\)连续，则\(f\)在\(\mathbb{R}^{l+m}\)上Lebesgue可测。
3. 设\(E\subset\mathbb{R}^n\)可测，\(f:E\to[0,+\infty)\)。定义\[H_E(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}: 0\leqslant y\leqslant f(x)\}.\]证明\(f\)为Lebesgue可测当且仅当\(H_E(f)\subset\mathbb{R}^{n+1}\)可测。此时\(m(H_E(f))=\int_Ef\ dm\)。
4. 设\(g\)为\([0,1]\)上的实可测函数，\(f(x,y)=g(x)-g(y)\)在\([0,1]\times[0,1]\)上可积，证明\(g\)在\([0,1]\)上可积。
5. 利用\(f(x,y)=\sin(x)e^{-xy}\)，计算
   \[
   \int^a_0\frac{\sin(x)}x\ dx=\frac{\pi}2-\cos(a)\int^{\infty}_0\frac{e^{-ay}}{1+y^2}\ dy-\sin(a)\int^{\infty}_0\frac{ye^{-ay}}{1+y^2}\ dy.
   \]
6. 证明\(\frac{\sin(x)}x\)非\((0,\infty)\)上的可积函数。

第十一周

1. 证明函数\(f(x)=x\log(x)-x\)，\(x>0\)是凸函数。若定义\(g(y)=\sup_{x>0}\{xy-f(x)\}\)，\(y>0\)。则\(g(y)=e^y\)。由此证明不等式\(x\log(x)-x+1\geqslant 0\)，\(x>0\)。
2. 证明任给\(\varepsilon>0\)，存在\(C_{\varepsilon}>0\)使得\(xy\leqslant \varepsilon x^2+C_{\varepsilon}y^2\)，\(\forall x,y>0\)。请给出\(C_{\varepsilon}\)的一个表达式。
3. 设\(f\)为\(\mathbb{R}^{l+m}\)上非负可测函数。\(p\geqslant 1\)，证明
   \[
   \left[\int_{\mathbb{R}^l}\left(\int_{\mathbb{R}^m}f(x,y)\ dy\right)^p\ dx\right]^{1/p}\leqslant\int_{\mathbb{R}^m}\left[\int_{\mathbb{R}^l}f(x,y)^p\ dx\right]^{1/p}\ dy.
   \]
   粗略地说，“和的\(p\)-模小于等于\(p\)-模的和”。

第十二周

1. 设\(f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)\)在\(x\in\mathbb{R}^n\)处连续，则\(\lim_{k\to\infty}(f\ast\phi_k)(x)=f(x)\)。若\(f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)\)一致连续，则\(\{f\ast\phi_k\}\)一致收敛于\(f\)。其中\(\{\phi_k\}\)为Dirac测度逼近序列。
2. 证明集合\(S_1=\{s\text{为简单函数}：\text{supp}\,(s)紧\}\)在\(L^p(\mathbb{R}^n)\)中稠密，\(p\in[1,\infty)\)。
3. 假设存在\(0<r<\infty\)使得\(f\in L^r(X,\mu)\)，证明\(\lim_{p\to\infty}\|f\|_p=\|f\|_{\infty}\)。举例说明若去掉条件“存在\(0<r<\infty\)使得\(f\in L^p(X,\mu)\)”，结论不成立。
4. 设\(p_0\in(0,+\infty)\)，\(f\in L^{p_0}(X,\mu)\)，证明\(\lim_{p\to 0^+}\int_X|f|^p\ d\mu=\mu(\{x\in X: f(x)\not=0\})\)。
5. 设\((X,\mu)\)为概率测度空间，存在\(r>0\)和非负可测函数\(f\in L^r(X,\mu)\)使得\(\log(f)\in L^1(X,\mu)\)（我们约定\(\log(0)=-\infty\)）。定义\([0,r]\)上的函数\(F\)：
   \[
   F(p)=\int_Xf^p\ d\mu,\quad p\in(0,r];\qquad F(0)=1.
   \]
   证明\(F\)在\([0,r)\)上右可微并计算\(F\)的右导数。
6. 设\(1\leqslant p<r<q<\infty\)且\(f\in L^p\cap L^q\)。证明\(f\in L^r\)且
   \[
   \log\|f\|_r\leqslant\frac{\frac 1r-\frac 1q}{\frac 1p-\frac 1q}\log\|f\|_p+\frac{\frac 1p-\frac 1r}{\frac 1p-\frac 1q}\log\|f\|_q.
   \]
7. * 设\((X,\mathfrak{M},\mu)\)为测度空间，\(p>0\)。\(X\)上的实可测函数序列\(\{f_n\}\)几乎处处收敛于\(f\)。假设存在\(C>0\)使得\(\int_X|f_n|^p\ d\mu\leqslant C\)，\(n\in\mathbb{N}\)。证明
   \[
   \lim_{n\to\infty}\int_X\left||f_n|^p-|f_n-f|^p-|f|^p|\right|\ d\mu=0.
   \]

第十三周

1. 假设\(A,B\subset\mathbb{R}^n\)为可测集且\(m(A),m(B)>0\)。证明\(A+B\)内部非空。
2. 设\(A\subset\mathbb{R}\)为Lebesgue可测集。\(d\in\mathbb{R}\)称作\(A\)的周期若\(d+A=A\)。若\(A\)具有任意小的周期，证明\(m(A)=0\)或\(m(A^c)=0\)。
3. 设\(f\in L^1([a,b])\)满足
   \[
   \lim_{h\to0}\frac 1h\int^b_a|f(t+h)-f(t)|\ dt=0.
   \]
   证明\(f\)几乎处处为常数。
4. 证明若\(f\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^n)\)，则\(f\)的Lebesgue集为Borel集。

第十四周

1. 求Heaviside函数\(H=\mathbf{1}_{\{x\geqslant0\}}\)的精确表示\(\bar{H}\)。\(0\)为\(H\)的Lebesgue点吗？
2. 构造集合\(E\subset\mathbb{R}^1\)使得
   \[
   \liminf_{r\to 0^+}\frac{m(E\cap B(x,r))}{m(B(x,r))}=0,\quad\limsup_{r\to 0^+}\frac{m(E\cap B(x,r))}{m(B(x,r))}=1.
   \]
3. 对任意\(\theta\in(0,1)\)，构造可测集\(E\subset\mathbb{R}^1\)使得\(\lim_{r\to0^+}\frac{m(E\cap(0,r))}{r}=\theta\)。
4. 设\(E\subset\mathbb{R}^n\)。证明
   \[
   m^*(E)=\inf\left\{\sum^{\infty}_{k=1}m(B_k): E\subset\bigcup^{\infty}_{k=1}B_k,\ \text{其中$\{B_k\}$为闭球列}\right\}.
   \]
5. 设\(\{B_{\alpha}\}\)为\(\mathbb{R}^2\)上（可能不可数）的闭圆盘族且对任意\(\alpha\)有\(r(B_{\alpha})\leqslant1\)，\(E=\cup_{\alpha}B_{\alpha}\)。(1) 证明\(E\)可测。(2) 条件“对任意\(\alpha\)有\(r(B_{\alpha})\leqslant1\)”可以去掉吗？(3) 举例说明\(E\)有可能不为Borel集。(4) 闭圆盘可以用三角形、矩形或者其他多边形代替保证(1)成立吗？

第十五周

1. 证明单调递增函数\(f\)在\(x\)处可微当且仅当\(df(x)=Df(x)<\infty\)成立。
2. 证明对Lebesgue-Cantor函数\(f\)，若\(x\)为Cantor三分集\(C\)上的点，\(Df(x)=\infty\)。
3. 证明单调函数分解定理中的分解在下面意义下唯一：设\(f=\phi_1+s_1\)，其中\(\phi_1\) 为连续单调递增函数，\(s_1\)为递增跳跃函数，则\(\phi-\phi_1\)与\(s-s_1\)均为常数。
4. 设
   \[
   f(x)=\left\{
   \begin{array}{ll}
   x^{\alpha}\cos x^{-1}, & \hbox{$0<x\leqslant1$;} \\
   0, & \hbox{$x=0$.}
   \end{array}
   \right.
   \]
   证明
   1. 若\(0\leqslant\alpha\leqslant1\)，\(f\not\in BV\)。
   2. 若\(\alpha>1\)，\(f\in BV\)且
      1. \(1<\alpha<2\)时，\(V'_f(0,0)=\infty\)；
      2. \(\alpha=2\)时，\(V'_f(0,0)=2/\pi\)；
      3. \(2<\alpha<\infty\)时，\(V'_f(0,0)=0\)。
5. * 在我们的有界变差函数的定义中，如果修改\(f\in BV([a,b])\)在一点处的函数值，\(V_f([a,b])\)一般会改变。为此，我们定义
   \[
   \|f\|_{BV}=\inf\{V_g([a,b]): g\in BV([a,b])\ \text{且}\ f=g, a.e.\}.
   \]
   我们称\(\|f\|_{BV}<\infty\)的函数为本性有界变差函数。
   1. 设\(\{f_n\}\subset BV([a,b])\)，且存在常数\(C>0\)使得\(\sup_{n\in\mathbb{N}}V_{f_n}(a,b)\leqslant C\)。证明若对某\(f\in L^1([a,b])\)，\(\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_1=0\)，则\(f\)与某有界变差函数几乎处处相等。
   2. 设\(f\in BV([a,b])\)，\(g\)为\(\mathbb{R}\)上非负可测函数，且\(\int_{\mathbb{R}}g(x)\ dx=1\)。证明\(f\ast g\in BV(\mathbb{R})\)且\(V_{f\ast g}(\mathbb{R})\leqslant V_f([a,b])\)。这里我们当\(x<a\)时定义\(f(x)=f(a)\)，当\(x>b\)时定义\(f(x)=f(b)\)，此时可以将\(f\)理解成\(\mathbb{R}\)上的有界变差函数。
   3. 证明\([a,b]\)上的可测函数为本性有界变差如果
      \[
      \operatorname{ess}\ V_f([a,b])=\sup\{\sum^{m}_{i=0}|f(x_{i+1}-f(x_i)|\}<\infty,
      \]
      其中\(a=x_0<x_1<\cdots<x_m<x_{m+1}=b\)，\(m\in\mathbb{N}\)，每一\(x_i\)（\(i=1,\ldots,m\)）均为\(f\)的近似连续点。

第十六周

1. 设\(f\)为\([a,b]\)上的单调递增函数，\(A\subset [a,b]\)为Lebesgue可测集，\(E=\{x\in A: f'(x)\,\text{存在}\}\)。证明
   \[
   \int_Af'(x)dx=m^*(f(E))\leqslant m^*(f(A)),
   \]
   并且若进一步\(f\)绝对连续，则上式等号成立。
2. 证明在绝对连续函数的定义中，若去掉“区间两两不交”的条件，实际上蕴含了函数的Lipschitz性。
3. 设\(f:[a,b]\to[0,+\infty)\)单调且绝对连续，证明\(\sqrt{f}\)亦绝对连续。举例说明若去掉“单调性”，结论不正确。