《常微分方程》习题(2024)

题选作

第二周

  1. 假设条件(H)成立,即f为区间Jx上的连续函数,gJy上的连续函数,并且(x0,y0)Jx×Jy。设y0Jy为内点并且g(y0)0,其中Jy为一区间(所谓内点是指,存在y0的一个开邻域包含于Jy)。证明存在x0的邻域(可能为单边邻域),使得初值问题

    y=f(x)g(y),y(x0)=y0,

    在该邻域中具有唯一解。从而可以通过分离变量法解出该方程。

  2. 解方程并画出方程解的草图:

y=3(sgn(y))|y|23={3|y|23,y0,3|y|23,y<0.

第四周

  1. 解方程y=2y(y1)x(2y),确定其通解。

  2. 解以下常微分方程: a. y+ysinx=sin2xy(0)=y0 b. y=x4y+x4y4y(0)=y0 c. y=2x+y+1x+2y+2y(0)=y0

  3. f:(0,1]R连续,并考虑方程

y=f(x)y,x(0,1].

试问f在何种条件下可以保证上述方程所有解满足以下性质:a) limx0+y(x)=0;b) limx0+y(x)x=0

  1. 对方程

y=f(x)ylog1y,x(0,1].

考虑上面同样的问题,此时仅考虑满足0<y(x)1/e的解。

  1. (*)考虑Bernoulli方程。

    (1) αZ,此时y<0是允许的。试对α分别为奇数和偶数讨论Bernoulli方程的解。

    (2) 证明若α2αN,若y(x)0为Bernoulli方程在区间J上的解,则yJ上无零点。

  2. 解方程

    a. yy22xy=2.

    b. y+y1+x+(1+x)y4=0y(0)=2.

    c. (x+1y2x2)dx+(1xyy2x2)dy=0.

第六周

  1. ERnf:ER一致连续。证明存在fEE的唯一连续扩张,即存在唯一的连续函数g:ER使得g|E=f

  2. 讨论下面方程y=|y|αα>0满足初值条件y(0)=0的解的唯一性。

  3. 设连续函数f(x,y)关于y是递减的,证明在x0的右端方程初值问题

    {y=f(x,y),y(x0)=y0,

    存咋唯一局部解。请同时讨论左端的情形。

  4. 运用C(J)上的另一个范数

    y1=maxxJ|y(x)|eα|xx0|

    给出Cauchy-Lipschitz定理的新证明。(注意这个证明不需要解的延拓。)

  5. 设算子T:C(J)C(J)如下定义:

    (Ty)(x)=y0+x0xf(t,y(t)),yC(J),

    其中J=[x0,x0+a]y0R。证明若f(x,y)连续,算子T为连续紧算子,即 (1) 任给{yn}依范数0收敛于y{Tyn}依范数0收敛于Ty; (2) 若DC(J)为有界集,T(D)C(J)为相对紧集。并由此利用Schauder不动点定理证明初值问题

    {y=f(x,y),xJ,y(x0)=y0,

    至少存在一个解。

  6. r0,,rN0δ0,,δN10Δ0,,ΔN10r0=0。证明如果ri+1(1+δi)ri+Δi,

    rNei=0N1δii=0N1Δi.
  7. 考虑初值问题

    {y(x)=32y13,x[0,1],y(0)=0.

    证明上述方程有三个形如y(x)=αxβ的经典解,但只有一个Euler解。

  8. 利用Peano定理的证明思想给出下面的时滞微分方程解存在性的证明。设J=[x0,x0+a]τ(x)C(J)0τ(x)b。考虑方程

    {y(x)=f(x,y(xτ(x))),xJy(x)=ϕ(x),xJ=[x0b,x0].

    假设fS=J×R上连续。证明 a. 若τ(x)>0xJ,则上述方程存在唯一解; b. 若fS上关于y满足Lipschitz条件,则方程存在唯一解且该解可由相应的逐次迭代得到。 c. 若fS上有界,则方程至少有一个解。