《常微分方程》习题(2025)

加$\star$$\star$题选作

第二周

1. 假设条件(H)成立，即$f$$f$为区间$J_x$$J_x$上的连续函数，$g$$g$为$J_y$$J_y$上的连续函数，并且$(x_0,y_0)\in J_x\times J_y$$(x_0,y_0)\in J_x\times J_y$。设$y_0\in J_y$$y_0\in J_y$为内点并且$g(y_0)\ne 0$$g(y_0)\not=0$，其中$J_y$$J_y$为一区间（所谓内点是指，存在$y_0$$y_0$的一个开邻域包含于$J_y$$J_y$）。证明存在$x_0$$x_0$的邻域（可能为单边邻域），使得初值问题

   $$y^{\prime }=f(x)g(y),y(x_0)=y_0,$$

   在该邻域中具有唯一解。从而可以通过分离变量法解出该方程。

2. 解方程并画出方程解的草图：

3. 设$a,b,c\in \mathbb{R}$$a,b,c\in\mathbb{R}$为常数，试验证方程$y^{\prime }=f(ax+by+c)$$y'=f(ax+by+c)$在变换群下的不变性。

第四周

1. 解方程$y^{\prime }=\frac{2y(y-1)}{x(2-y)}$$y'=\frac{2y(y-1)}{x(2-y)}$，确定其通解。

2. 解以下常微分方程： a. $y^{\prime }+y\sin x=\sin 2x$$y'+y\sin x=\sin 2x$，$y(0)=y_0$$y(0)=y_0$； b. $y^{\prime }=x^{4}y+x^4{y}^4$$y'=x^4y+x^4y^4$，$y(0)=y_0$$y(0)=y_0$； c. $y^{\prime }=\frac{2x+y+1}{x+2y+2}$$y'=\frac{2x+y+1}{x+2y+2}$，$y(0)=y_0$$y(0)=y_0$。

3. 设$f:(0,1]\to \mathbb{R}$$f:(0,1]\to\mathbb{R}$连续，并考虑方程

试问$f$$f$在何种条件下可以保证上述方程所有解满足以下性质：a) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}y(x)=0$$\lim_{x\to0^+}y(x)=0$；b) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{y(x)}{x}=0$$\lim_{x\to0^+}\frac{y(x)}x=0$？

4. 对方程

考虑上面同样的问题，此时仅考虑满足$0<y(x)⩽1/e$$0<y(x)\leqslant 1/e$的解。

5. （*）考虑Bernoulli方程。

   (1) $\alpha \in \mathbb{Z}$$\alpha\in\mathbb{Z}$，此时$y<0$$y<0$是允许的。试对$\alpha$$\alpha$分别为奇数和偶数讨论Bernoulli方程的解。

   (2) 证明若$\alpha ⩾2$$\alpha\geqslant2$，$\alpha \in \mathbb{N}$$\alpha\in\mathbb{N}$，若$y(x)\not\equiv 0$$y(x)\not\equiv0$为Bernoulli方程在区间$J$$J$上的解，则$y$$y$在$J$$J$上无零点。

6. 解方程

   a. $y^{\prime }-y^2-2xy=2$$y'-y^2-2xy=2$.

   b. $y^{\prime }+\frac{y}{1+x}+(1+x)y^4=0$$y'+\frac{y}{1+x}+(1+x)y^4=0$，$y(0)=-2$$y(0)=-2$.

   c. $(x+\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}})dx+(1-\frac{x}{y\sqrt{y^2-x^2}})dy=0$$\big(x+\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}\big)dx+\big(1-\frac{x}{y\sqrt{y^2-x^2}}\big)dy=0$.