《常微分方程》习题(2024)

题选作

第二周

  1. 假设条件(H)成立,即f为区间Jx上的连续函数,gJy上的连续函数,并且(x0,y0)Jx×Jy。设y0Jy为内点并且g(y0)0,其中Jy为一区间(所谓内点是指,存在y0的一个开邻域包含于Jy)。证明存在x0的邻域(可能为单边邻域),使得初值问题

    y=f(x)g(y),y(x0)=y0,

    在该邻域中具有唯一解。从而可以通过分离变量法解出该方程。

  2. 解方程并画出方程解的草图:

y=3(sgn(y))|y|23={3|y|23,y0,3|y|23,y<0.

第四周

  1. 解方程y=2y(y1)x(2y),确定其通解。

  2. 解以下常微分方程: a. y+ysinx=sin2xy(0)=y0 b. y=x4y+x4y4y(0)=y0 c. y=2x+y+1x+2y+2y(0)=y0

  3. f:(0,1]R连续,并考虑方程

y=f(x)y,x(0,1].

试问f在何种条件下可以保证上述方程所有解满足以下性质:a) limx0+y(x)=0;b) limx0+y(x)x=0

  1. 对方程

y=f(x)ylog1y,x(0,1].

考虑上面同样的问题,此时仅考虑满足0<y(x)1/e的解。

  1. (*)考虑Bernoulli方程。

    (1) αZ,此时y<0是允许的。试对α分别为奇数和偶数讨论Bernoulli方程的解。

    (2) 证明若α2αN,若y(x)0为Bernoulli方程在区间J上的解,则yJ上无零点。

  2. 解方程

    a. yy22xy=2.

    b. y+y1+x+(1+x)y4=0y(0)=2.

    c. (x+1y2x2)dx+(1xyy2x2)dy=0.

第六周

  1. ERnf:ER一致连续。证明存在fEE的唯一连续扩张,即存在唯一的连续函数g:ER使得g|E=f

  2. 讨论下面方程y=|y|αα>0满足初值条件y(0)=0的解的唯一性。

  3. 设连续函数f(x,y)关于y是递减的,证明在x0的右端方程初值问题

    {y=f(x,y),y(x0)=y0,

    存咋唯一局部解。请同时讨论左端的情形。

  4. 运用C(J)上的另一个范数

    y1=maxxJ|y(x)|eα|xx0|

    给出Cauchy-Lipschitz定理的新证明。(注意这个证明不需要解的延拓。)

  5. 设算子T:C(J)C(J)如下定义:

    (Ty)(x)=y0+x0xf(t,y(t)),yC(J),

    其中J=[x0,x0+a]y0R。证明若f(x,y)连续,算子T为连续紧算子,即 (1) 任给{yn}依范数0收敛于y{Tyn}依范数0收敛于Ty; (2) 若DC(J)为有界集,T(D)C(J)为相对紧集。并由此利用Schauder不动点定理证明初值问题

    {y=f(x,y),xJ,y(x0)=y0,

    至少存在一个解。

  6. r0,,rN0δ0,,δN10Δ0,,ΔN10r0=0。证明如果ri+1(1+δi)ri+Δi,

    rNei=0N1δii=0N1Δi.
  7. 考虑初值问题

    {y(x)=32y13,x[0,1],y(0)=0.

    证明上述方程有三个形如y(x)=αxβ的经典解,但只有一个Euler解。

  8. 利用Peano定理的证明思想给出下面的时滞微分方程解存在性的证明。设J=[x0,x0+a]τ(x)C(J)0τ(x)b。考虑方程

    {y(x)=f(x,y(xτ(x))),xJy(x)=ϕ(x),xJ=[x0b,x0].

    假设fS=J×R上连续。证明 a. 若τ(x)>0xJ,则上述方程存在唯一解; b. 若fS上关于y满足Lipschitz条件,则方程存在唯一解且该解可由相应的逐次迭代得到。 c. 若fS上有界,则方程至少有一个解。

第八周

  1. 考虑方程y=x2+y2,y(0)=1。运用形如w1(x)=11cxc>1)的函数与比较定理研究第方程的解何时爆炸,即y在有限时间达到

  2. 构造下面初值问题的右行极大解与极小解 a. y=x3+y3,y(0)=1; b. y=x+1+y2,y(0)=1.

  3. 给出下列Clairaut方程的所有解并画出若干解的草图,并确定方程解曲线的包络线。 a. y=xyy1; b. y=xy+(y)2.

第十一周

  1. 考虑单摆方程x¨+V(x)=0,其中V(x)=a(1cos(x))a=g/l。对任意α0,记

Kα={(x,p):H(x,p)=12|p|2+V(x)=α}.

a. 设0<α<2a,证明Kα为一条简单闭曲线且存在A(0,π),使得Kα包含(A,0)(A,0) b. 设(x(t),p(t))为以(A,0)为初值的方程x˙=p,p˙=asin(x),的解。说明该轨道为周期轨,并确定其周期T(A) c. 证明

limA0+T(A)=2πa,limAπT(A)=+.
  1. ω:[0,)[0,)连续单调递增,ω(0)=0,对r>0ω(r)>0,且满足limε0+ε1drω(r)=.u:[0,a]R非负连续且满足

    u(x)0xω(u(t)) dt,x[0,a],

    证明u(x)0x[0,a]

  2. 直接验证Osgood条件下,方程y=f(x,y)f连续)的唯一性。确切地说,假设|f(x,y1)f(x,y2)|ω(|y1y2|),其中ωC([0,+))满足q(0)=0ω(r)>0r>0,且

    011ω(r) dr=.

    证明初值问题解的唯一性。关于连续依赖性的结论呢?

  3. f(x0)0,则存在x0附近的局部坐标变换y=ϕ(x),在x0附近将方程x˙=f(x)转化成

    y˙=e1=(1,0,,0).
  4. 验证Φ(t,x)=et(1+x)1定义了一个流。确定一向量场f,使其决定的流为Φ