《常微分方程》习题(2024)
加题选作
第二周
假设条件(H)成立,即为区间上的连续函数,为上的连续函数,并且。设为内点并且,其中为一区间(所谓内点是指,存在的一个开邻域包含于)。证明存在的邻域(可能为单边邻域),使得初值问题
在该邻域中具有唯一解。从而可以通过分离变量法解出该方程。
解方程并画出方程解的草图:
第四周
解方程,确定其通解。
解以下常微分方程:
a. ,;
b. ,;
c. ,。
设连续,并考虑方程
试问在何种条件下可以保证上述方程所有解满足以下性质:a) ;b) ?
对方程
考虑上面同样的问题,此时仅考虑满足的解。
(*)考虑Bernoulli方程。
(1) ,此时是允许的。试对分别为奇数和偶数讨论Bernoulli方程的解。
(2) 证明若,,若为Bernoulli方程在区间上的解,则在上无零点。
解方程
a. .
b. ,.
c. .
第六周
设,一致连续。证明存在从到的唯一连续扩张,即存在唯一的连续函数使得。
讨论下面方程,满足初值条件的解的唯一性。
设连续函数关于是递减的,证明在的右端方程初值问题
存咋唯一局部解。请同时讨论左端的情形。
运用上的另一个范数
给出Cauchy-Lipschitz定理的新证明。(注意这个证明不需要解的延拓。)
设算子如下定义:
其中,。证明若连续,算子为连续紧算子,即 (1) 任给依范数收敛于,依范数收敛于; (2) 若为有界集,为相对紧集。并由此利用Schauder不动点定理证明初值问题
至少存在一个解。
设,,且。证明如果则
考虑初值问题
证明上述方程有三个形如的经典解,但只有一个Euler解。
利用Peano定理的证明思想给出下面的时滞微分方程解存在性的证明。设,,。考虑方程
假设在上连续。证明
a. 若,,则上述方程存在唯一解;
b. 若在上关于满足Lipschitz条件,则方程存在唯一解且该解可由相应的逐次迭代得到。
c. 若在上有界,则方程至少有一个解。
第八周
考虑方程。运用形如()的函数与比较定理研究第方程的解何时爆炸,即在有限时间达到。
构造下面初值问题的右行极大解与极小解
a. ;
b. .
给出下列Clairaut方程的所有解并画出若干解的草图,并确定方程解曲线的包络线。
a. ;
b. .
第十一周
考虑单摆方程其中,。对任意,记
a. 设,证明为一条简单闭曲线且存在,使得包含和。
b. 设为以为初值的方程的解。说明该轨道为周期轨,并确定其周期。
c. 证明
设连续单调递增,,对有,且满足若非负连续且满足
证明,。
直接验证Osgood条件下,方程(连续)的唯一性。确切地说,假设其中满足,,,且
证明初值问题解的唯一性。关于连续依赖性的结论呢?
设,则存在附近的局部坐标变换,在附近将方程转化成
验证定义了一个流。确定一向量场,使其决定的流为。