《实变函数》的一些思考与注记

2020-09

Rademacher定理

Rademacher定理是一个经典的结论。它断言有限维Euclid空间之间的Lipschitz映射必几乎处处可微。V. V. Stepanov在论文《Über totale Differenzierbarkeit》和《Sur les conditions de l’existence de la différentielle totale》中指出，实际上Rademacher证明了一个更强的结论。

Stepanov定理：若$U$为$\mathbb{R}^n$的非空开子集，则任意函数$f:U\to\mathbb{R}$在集合$\{x\in U: \limsup_{y\to x}\frac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|}<\infty\}$上几乎处处可微。

作为Stepanov定理的推论，可以证明：$f:U\to\mathbb{R}$在$U$上几乎处处可微的充分必要条件$\limsup_{y\to x}\frac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|}<\infty$除去一个Lebesgue零测集成立。

Rademacher定理的证明的思路主要是分成两部分

• 若$f$在$x$处Gâteaux可微，则$f$在$x$处Fréchet可微，
• $f$几乎处处Gâteaux可微。

比较初等的证明可以参见A. Nekvinda和L. Zajíček的论文《A simple proof of the Rademacher theorem》。其他的证明可见L.C. Evans与R.F. Gariepy的专著《Measure Theory and Fine Properties of Functions》（Theorem 3.2），或者J. Heinonen的专著《Lectures on Analysis on Metric Spaces》（Theorem 6.15）。前者利用Nekvinda-Zajíček论文的思想，后者本质上基于Sobolev嵌入定理。另外，所有上述这些证明均利用了一维时Rademacher定理的结论，通常依赖于绝对连续函数的几乎处处可微性，这本质上利用了Lebesgue的单调函数的微分定理。一维Rademacher定理一个不依赖于Lebesgue微分定理以及相关覆盖定理技术的初等证明，可以参考Zajíček的论文《An elementary proof of the one-dimensional Rademacher theorem》。

Cantor集与Lebesgue-Cantor函数

设$D$为$[0,1)$中的二进有理数的集合，则$\forall r\in D$，$r=\sum^k_{j=1}a_j/2^{-j}$（其中$a_j=0$或$1$）。若按照讲义中选取的序列$\{l_k\}$构造Cantor集$C$。

引理：假设对$r\in D$，$r=\sum^k_{j=1}a_k/2^{-j}$，则构造过程中的区间$J_r=(a,b)$的右端点满足$b=\sum^k_{j=1}a_j(l_{k-1}-l_k)$。

因此我们有关于Cantor集$C$中点的如下刻画：

定理：任给$x\in[0,1]$。则$x\in C$当且仅当$x=\sum^{\infty}_{j=1}a_j(l_{j-1}-l_j)$，$a_j=0$或$1$，并且此时，对于关于$C$的Lebesgue-Cantor函数$f$有：$f(x)=\sum^{\infty}_{j=1}a_j2^{-j}$。

上述结论的证明请参见F. Jones的《Lebesgue Integration on Euclidean Space》第四章，90-94页。

注记：

1. 上述定理表明，对于讲义中构造的Cantor集，其结构本质上是相同的。利用上述定理，可以类似地证明$[0,1]\setminus C$是开的稠密子集。从而$C$为无处稠密的。
2. 设$B$为$C$构造中的闭区间的所有右端点的全体，则$f$建立了$C\setminus B$到$[0,1)$的一一映射（因为它是严格单调的）。从而$C$为不可数的。
3. 需要注意的是，$C$构造过程中出现的闭区间的的端点是可数的，因此$C$的“主要”部分并非这些端点。
4. 进一步，如果把讲义中过程推广，可以构造更为复杂的Cantor集。它们具有拓扑上类似的性质。
5. 后面利用微分部分的讨论，对于测度为正的Cantor集$C$，相应的Lebesgue-Cantor函数$f$可以有表示$f=\frac{m(C\cap[0,x])}{m(C)}$。对于标准Cantor集$C$，相应的Lebesgue-Cantor函数为连续奇异函数。
6. 我们讲义中构造的Cantor集$C$事实上是同胚于乘积空间$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$。可参见Yakov Pesin和Vaughn Climenhaga的《Lectures on Fractal Geometry and Dynamical Systems》。当然这也可以看成一个随机过程的问题。该书还讨论了Cantor与符号动力系统的关系，Cantor集可以作为用映射的迭代产生。
7. 把标准Cantor集中点的小数表示中奇数位与偶数位抽出来，可以构造一条平面上的Peano曲线。可参阅Hans Sagan的《Space-Filling Curves》一书。
8. Lebesgue-Cantor函数的Hölder连续性与相应Cantor集的Hausdorff维数密切相关。
9. Cantor集具有自相似性，这是所谓分形几何问题最重要的模型。体现在Lebesgue-Cantor函数上，具有一定的对称性。比如对标准Cantor集，其Lebesgue-Cantor函数$f$满足$f(x)+f(1-x)=1$；$f(x/3)=f(x)/2$，对$x\in[0,1]$。