《实变函数》习题
加题选作
第一周
- 假设为集合列,证明,。
- 设均为实数。证明 。
- 设为集合。证明。若记为乘法,为加法,则为一结合交换环。
- 对上的实函数,集合至多可数。
- 设,为收敛的正项级数,定义 证明为在无理数处连续而在有理数处不连续的单调递增函数。而且。
- 设,定义。证明集合至多可数。
- 证明若为凸函数,则为局部Lipschitz的,即任给,存在以及常数,使得
第二周
- 设为一拓扑空间,为的非空子集。定义。证明亦为一拓扑空间。称作的拓扑子空间,称作关于子集的子空间拓扑。在同胚下保持不变的性质被称作拓扑性质。若的拓扑性质同时具有,称该拓扑性质(即为同胚保持的性质)为遗传的。证明的任意子集均遗传了可分性。
- 我们称数域上的线性空间上的函数为一范数若满足对任意,,(1) 当且仅当;(2) ;(3) 。证明若为有限维实线性空间,则所有的范数等价,即对任意两个范数和,存在,使得对任意,。进而证明,所有有限维实线性空间的范数诱导的拓扑是相容的。
- 设,一致连续。证明存在从到的唯一连续扩张,即存在唯一的连续函数使得。
- 证明下半连续当且仅当的上图为闭集。
- 设。证明的振幅函数且为上半连续的。
- 设为度量空间,下半连续、下有界且。对任意,定义,。证明为上的Lipschitz函数且,且任给,。进一步,若去掉条件“下有界”,结论亦成立。确切地说,下半连续函数可以被一列单调递增的连续函数从下方逼近。(注意此时一般做不到这个逼近序列为Lipschitz函数序列。)
第三周
- 设为一度量空间,为上的Borel集类。证明:为满足以下条件的最小集合族,其中包含所有开集并且在可数交与可数并下封闭。
- 集合的子集类称作单调类若它在可数单调递增集合列之并和可数单调递减集合列之交下封闭。设为的一集合代数,证明包含的最小-代数与包含的最小单调类相等。
- 设,满足Stepanov型条件:对任意成立。证明存在开集使得为Lipschitz函数。
- 证明有理数集不为上的集。
- 设为闭集且(区间两两不交)。证明:为完全集当且仅当这些区间无公共端点。
- 对上的所有连续实函数的全体组成的线性空间,赋予范数证明所有上连续但处处不可微函数构成中的剩余集。
第四周
- 设为集合,为可测空间,。证明为上的-代数。若为-可测的,证明存在使得。
- 证明对于任意实函数, 存在使得。由此证明从而可测蕴含了可测。
- 证明对于任意实函数,证明函数为Borel可测。从而证明可测蕴含了、(非零)可测。
第六周
- 假设为可测函数,为实数,若以及的Lebsgue积分均有定义,则。
- 验证任给测度空间上的非负可测函数,,,定义了上的一个测度。
- 设且对任意函数可测。定义。试问满足何种条件能保证函数的连续性。如果存在,如何保证可微并且导数可以求到积分号里。请给出理由。
- 证明在Egorov定理中,条件“”可以被“存在使得,”代替。
- 设,。假设几乎处处收敛于且。证明,并举例说明若去掉条件”“命题不成立。
- 设。对上的实可测函数和定义。证明定义了所有上的实可测函数组成的空间(模去几乎处处这个等价条件)上的一个度量,并且序列依度量收敛与当且仅当依测度收敛于。
第七周
- 设为中的序列满足(),并且分别逐点收敛于。若且
证明且。
- 假设为上有界可测函数。几乎处处收敛于吗?是否存在单调正自然数序列(),使得几乎处处收敛于()?
- 设。证明
其中为特殊矩体。
- 设,证明存在可测集,使得并且。这样的称作集合的等测包。
- 证明若为的递增集合列,则
第八周
- 假设为一可逆的线性变换,为Lebesgue可测函数。证明可测并且
- 我们也可以按照以下方式定义所谓刚体运动。称作刚体运动若为等距同构,即
证明必有形式,其中为上的正交变换,。
- 假设为一族的可测集,并且两两不交,每一均为正测集。证明至多可数。
第九周
- 证明存在中的单调递减的子集列使得,,但对所有,。
- 证明Brunn-Minkowski不等式中,若不假设可测,则不等式当换成时成立。
- 在Vitali-Carathéodory定理中,如果,为上半连续,为下半连续,定理是否成立?你可以考虑上的正测Cantor集的特征函数。
第十周
- 举例存在为开集但为正测集。
- 假设,为一稠密子集。若对所有在上Lebesgue可测,对几乎所有的连续,则在上Lebesgue可测。
- 设可测,。定义证明为Lebesgue可测当且仅当可测。此时。
第十一周
- 设为上的实可测函数,在上可积,证明在上可积。
- 利用,计算
- 证明非上的可积函数。
- 证明函数,是凸函数。若定义,。则。由此证明不等式,。
- 证明任给,存在使得,。请给出的一个表达式。
- 设为上非负可测函数。,证明
粗略地说,“和的-模小于等于-模的和”。
第十二周
- 设在处连续,则。若一致连续,则一致收敛于。
- 设。证明任给存在使得
- 设为测度空间,。上的实可测函数序列几乎处处收敛于。假设存在使得,。证明
- 设,,证明。
- 假设存在使得,证明。举例说明若去掉条件“存在使得”,结论不成立。
- 设为概率测度空间,存在和非负可测函数使得(我们约定)。定义上的函数:
证明在上右可微并计算的右导数。
- 设且。证明且
第十三周
假设为可测集且。证明内部非空。
设为Lebesgue可测集。称作的周期若。若具有任意小的周期,证明或。
设满足
证明几乎处处为常数。
证明若,则的Lebesgue集为Borel集。
第十四周
求Heaviside函数的精确表示。为的Lebesgue点吗?
构造集合使得
对任意,构造可测集使得。
设。证明
设为上(可能不可数)的闭圆盘族且对任意有,。(1) 证明可测。(2) 条件“对任意有”可以去掉吗?(3) 举例说明有可能不为Borel集。(4) 闭圆盘可以用三角形、矩形或者其他多边形代替保证(1)成立吗?
第十五周
- 证明单调递增函数在处可微当且仅当成立。
- 证明对Lebesgue-Cantor函数,若为Cantor三分集上的点,。
- 证明单调函数分解定理中的分解在下面意义下唯一:设,其中 为连续单调递增函数,为递增跳跃函数,则与均为常数。
- 设
证明
1. 若,。
2. 若,且
1. 时,;
2. 时,;
3. 时,。
- 在我们的有界变差函数的定义中,如果修改在一点处的函数值,一般会改变。为此,我们定义
我们称的函数为本性有界变差函数。
1. 设,且存在常数使得。证明若对某,,则与某有界变差函数几乎处处相等。
2. 设,为上非负可测函数,且。证明且。这里我们当时定义,当时定义,此时可以将理解成上的有界变差函数。
3. 证明上的可测函数为本性有界变差如果
其中,,每一()均为的近似连续点。
第十六周
- 设为上的单调递增函数,为Lebesgue可测集,。证明
并且若进一步绝对连续,则上式等号成立。
- 证明在绝对连续函数的定义中,若去掉“区间两两不交”的条件,实际上蕴含了函数的Lipschitz性。
- 设单调且绝对连续,证明亦绝对连续。举例说明若去掉“单调性”,结论不正确。
补充
设为度量空间,为关于集合的距离函数。对任意的子集,定义称作子集的Hausdorff距离。
- 证明为幂集上的伪度量。(此处度量定义中允许取到,为伪度量若度量定义中“”可能不成立。)
- 对任给,。
- 若为闭集且,则。
设为上所有闭集的全体组成的集合族。若中的序列依Hasudorff距离收敛于。则。
证明若为完备度量空间,则亦然;若为紧度量空间,则亦然。所有上的紧凸集在中为闭集。
设为一测度空间,称作等度可积若任给,存在,使得
- 证明若序列存在控制函数,即,则为等度可积。
- 证明若且,则为等度可积。
- 证明下面的Vitali的定理:若,等度可积,几乎处处收敛于且几乎处处有限,则且。
- 证明下面Vitali定理的逆命题:若,且对任意可测集,存在,则等度可积。
- 证明下面版本的Vitali定理:,,则等且仅当(1) 依测度收敛于;(2) 等度可积;(3) 任给,存在可测集使得且对任一,。
设为局部紧Hausdorff空间上的Radon测度,集合称作的支集。
- 证明恰为中最大的-零测开集,即为中所有零测开集之并。(为什么仍为零测集?)
- 证明当且仅当对所有,,有。
- 设,且,则对的任意紧的真子集,。
- 对上任意紧子集,构造概率测度使得。
- 设非负,为上的Lebesgue测度,定义了上的有限Borel测度。证明。
往年期中试题选
- 假设为开集,,。试问函数()连续?如果不是,请问它是半连续的吗?
- 设及均为上的实可测函数,证明当且仅当。
- 设为可测集序列,且,,为正数序列。若对几乎所有的,,证明。
- 设,且。证明。
- 设为测度空间上的可测函数族,。 若存在一单调递增 满足当时,,以及常数,使得证明,并且任给,存在,若,,则有
- 设,且对任意,存在,使得。证明为实多项式。
- 设为Lebesgue可测集,,为有界序列,,。证明。
- 证明存在集合列,,使得。
- 设为测度空间且。证明任给,存在可测子集,使得且。
- 设为可测集且,其中。证明中存在至少个整数坐标的点。
- 设为实数序列,为正实数序列使得。证明,a.e.,。
- 设,。若对任意区间,,,证明,a.e.。
- 设为一测度空间,序列满足。证明,-a.e.。